A equação de Joukowsky

Muitos engenheiros acham que podem fazer análises de estado estável em uma planilha. Ainda assim, se eles quiserem analisar algo transitório - por exemplo, o aumento de pressão decorrente do fechamento repentino de uma válvula ou de uma ruptura - um simulador é indispensável. Na verdade, há uma maneira fácil de fazer esse tipo de análise transitória manualmente, que funciona tanto para dutos de gás quanto de líquidos e que é bastante precisa em muitas situações. É sempre bom ter um cálculo feito com lápis e papel para usar como verificação de sanidade em um software complexo, mesmo que seja o Atmos SIM.

A Equação de Joukowsky nos permite realizar cálculos de surtos manualmente. Seu nome é uma homenagem a Nikolay Zhukovsky, um dos fundadores da aerodinâmica e também da hidrodinâmica. (Nesta entrada do blog, usarei a grafia mais comum da equação, "Joukowsky"). Além de criar essa equação, Zhukovsky foi a primeira pessoa a explicar fisicamente a sustentação em uma asa de avião e produziu muitos outros resultados importantes em engenharia e matemática. Não tentarei derivar a equação de Joukowksy aqui. Ainda assim, ela decorre da Segunda Lei de Newton, força = massa vezes aceleração, combinada com o fato físico de que nenhuma perturbação pode viajar por um fluido mais rápido do que a velocidade da onda (a velocidade da onda é de aproximadamente 300 m/s em dutos de gás e cerca de 1-1,5 km/s em dutos de líquidos).

A equação de Joukowsky é ∆P = - ρ c ∆V. Onde ∆P é a magnitude do aumento de pressão causado pela mudança de velocidade e é o que estamos tentando calcular: ΔV é a mudança de velocidade que causa o aumento: p é a densidade do fluido e c é a velocidade da onda. (Para não haver fatores de conversão de unidades, essas quantidades devem estar em um conjunto consistente de unidades, como o SI: pressão em Pascal, densidade em kg/m3, velocidade da onda e mudança de velocidade em m/s).

A equação de Joukowsky pode ser aplicada de qualquer maneira: você pode calcular o aumento de pressão que acompanha uma determinada mudança de velocidade ou a mudança de velocidade esperada de uma mudança repentina de pressão.

Por exemplo, digamos que tenhamos um duto de gasolina fluindo a 2 m/s e eu feche uma válvula rapidamente: qual é o aumento de pressão que posso esperar? Consultando meus livros de referência (ou o Google), vejo que a densidade da gasolina é de aproximadamente 800 kg/m3 e a velocidade do som é de aproximadamente 1380 m/s. A gasolina para repentinamente após o fechamento da válvula, portanto, ΔV é -2 m/s. Então, a mudança de pressão no lado a montante é ΔP = - 1380 m/s * 800 kg/m3 * -2 m/s = 22 bar (= 320 psi) e no lado a jusante é -22 bar. Se a válvula realmente se fechar instantaneamente, então um surto de pressão de 22 bar volta a subir pelo tubo e um surto negativo desce pelo tubo, ambos a 1380 m/s. Esse é um resultado de modelo transiente perfeitamente válido: esperamos que o SIM dê uma resposta semelhante e, de fato, ele dá, como vemos abaixo:

Se você quiser uma solução extremamente precisa ou uma solução quando o surto de pressão tiver percorrido mais de 5 ou 10 km, há várias ressalvas:

  1. Eventualmente, o atrito fará com que a altura do surto diminua: a largura do surto (ou seja, o tempo que o surto leva para passar por um ponto) permanecerá no mesmo tempo que levou para fechar a válvula. Assim, em nosso exemplo da gasolina, se a válvula fechou em 1 segundo, a pressão aumentará 22 bar em 1380 m e esse aumento passará por um ponto no duto - mesmo um ponto a muitos quilômetros de distância - em 1 segundo.
  2. Em um duto de gás com uma mudança de pressão grande o suficiente para que ΔV esteja próximo de c - o que significa que a velocidade do gás se aproxima do fluxo estrangulado, como ocorre em uma ruptura de duto - os processos não lineares se tornam importantes e o resultado de Joukowsky será menos preciso. Isso ocorre porque a frente de onda da pressão real será mais espalhada.
  3. Para que esse resultado seja exato, é preciso usar a velocidade de onda correta c. Isso significa que ele precisa ser ajustado para a expansão do tubo se você estiver olhando para um tubo de diâmetro muito grande, um tubo de parede particularmente fina ou um tubo de plástico (a correção para isso pode ser encontrada on-line ou em qualquer manual de engenharia).
  4. A velocidade da onda em um sistema mantido em temperatura constante (por exemplo, um tubo submarino sem isolamento) diferirá da velocidade em um tubo com bom isolamento.
  5. Eventualmente, você começará a ver ondas refletidas em quaisquer outras válvulas fechadas no sistema ou em qualquer coisa mantida sob pressão constante, como um tanque ou reservatório de gás.
  6. Em um sistema líquido, um surto de pressão negativa pode derrubar a pressão abaixo do vapor: nesse caso, o fluxo frouxo se desenvolverá e a dinâmica pode se tornar muito complicada.

O Atmos SIM lida automaticamente com todas essas situações mais complexas. Mas para uma estimativa rápida, a equação de Joukowsky ainda é muito útil!

Veja o blog anterior de Jason sobre como lidar com dados ruins aqui. Você também pode ler alguns artigos de Jason e blogs abaixo:

por: Jason Modisette
Data: 09 janeiro 2024